Бутылка Клейна
Команда "Сони"
Научные интересы и достижения Феликса Клейна.
Феликс Христиан Клейн (1849–1925) — немецкий математик. Родился в Дюссельдорфе в семье чиновника. Закончил гимназию в Дюссельдорфе, потом учился математике и физике в Боннском университете. Вначале планировал стать физиком.
Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой.
В начале XX века Клейн принял активное участие в реформе школьного образования, автор и инициатор ряда исследований состояния дел с преподаванием математики в разных странах.
К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая и т. д.; на рубеже веков к ним добавились ещё псевдоевклидова геометрия и топология. Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны.
Клейн высказал все эти идеи в выступлении 1872 года «Сравнительное рассмотрение новых геометрических исследований», получившем название «Эрлангенской программы». Оно привлекло внимание математиков всей Европы тем, что не только давало новое представление о предмете геометрии, но и намечало ясную перспективу дальнейших исследований.
В последующие 3 года Клейн опубликовал более 20 работ по неевклидовой геометрии, теории групп Ли, теории многогранников и эллиптическим функциям. Одним из важнейших его достижений стало первое доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. Клейн также напечатал ряд работ о решении уравнений 5-й, 6-й и 7-й степеней, об интегрировании дифференциальных уравнений, об абелевых функциях, о неэвклидовой геометрии.
Основные свойства бутылки Клейна в сравнении с листом Мёбиуса.
Бутылка Клейна - это математическая неориентируемая поверхность, в которой неразличимы внутренняя и внешняя стороны. В отличие от обыкновенного стакана у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (т. е. на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»). Таким образом, в пространстве она ограничивает собой нулевой объем.
Топологическим свойством геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании.
Основными топологическими свойствами бутылки Клейна являются:
1. Подобно ленте Мебиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым неориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края.
2. Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство.
3. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трехмерном евклидовом пространстве сделать это, не создав самопересечения, невозможно.
4. Хроматическое число поверхности равно «6». Оно равно максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим
5. Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса, изображенная справа (необходимо помнить, что изображенного пересечения на самом деле нет).
Таким образом, бутылка Клейна - геометрическое тело, полученное склейкой двух листов Мебиуса по их краю. Представляет собой подобие тора, однако в отличие от последнего перекручена на один поворот таким образом, что при обходе поверхности бутылки Клейна гипотетический путешественник возвратится зеркально отражённым.
Изготовление трехмерной модели бутылки Клейна
Изготовление
1. Возьмем два кусочка пластилина, разомнем его как следует.
2. Из одного кусочка сделаем пластину и свернем ее в трубку, слегка закруглив края так, чтобы боковые стороны трубки стали слегка округлыми.
3. Из второго куска пластилина сделаем трубочку.
4. Соединим нижний край трубки с одним из концов трубочки.
5. Сделаем разрез в верхней части трубки. Расстояние от верхнего края трубки до прорези должно быть равно 1 четверти высоты трубки ( для настоящее бутылки Клейна в четырехмерном пространстве это отверстие не нужно, но без него нельзя обойтись в трехмерном евклидовом пространстве).
6. Протащим наверх нижний край трубочки сквозь прорезь.
7. Соединим край протащенной трубочники с верхним краем трубки.
Бутылка Клейна в литературе
Бутылка Клейна вдохновила многих поэтов и писателей на создание литературных шедевров на основе её свойств. Поскольку бутылку Клейна можно разрезать так, чтобы получились два листа Мебиуса, должна существовать и обратная операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного автора:
Великий Феликс,
Славный Клейн,
Мудрец из Геттингена,
Считал, что Мебиуса лист -
Дар свыше несравненный.
Гуляя как-то раз в саду.
Воскликнул Клейн наш пылко:
"Задача проста - возьмем два листа
И склеим из них бутылку".
Но не один неизвестный автор знаком со свойствами бутылки Клейна. Так в рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения. А. Дейч написал юмореску «Бутылка Клейна». Ее идея в двух сло¬вах: в некоем городе метрополитен развился до такой степени, что топологическая сложность всех ее пересека¬ющихся линий перешла некую допустимую границу — и в результате один за другим целые поезда вдруг исчезали из трехмерного пространства, возвращаясь назад лишь через месяц-другой.
Бутылка Клейна в искусстве
Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации.В сериале Футурама в серии «The Route of All Evil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна.
Бутылка Клейна и изготовление стёкол
Как уже было сказано, бутылку Клейна могут изготовить только высококвалифицированные стеклодувы. Но и они не смогут её изготовить в подлинном виде, так как место самопересечения будет запаяно. Но, не смотря на это, они отливают бутылки в качестве сувениров и даже соревнуются, у кого лучше и больше получилась бутылка.
Бутылка Клейна в архитектуре
Этот удивительный предмет все чаще привлекает внимание архитекторов:
Такое здание есть во Франкфурте на Майне
Бутылка Клейна в рукоделии
Рукодельницы вяжут шапочки "а ля бутылка Клейн". По конструкции они не отличаются от моделей бутылки! Отличный комплект получится из такой шапочки и шарфа в виде ленты Мёбиуса.
Интернет ресурсы
https://studbooks.net/2402994/matematika_himiya_fizika/butylka_kleyna
http://class-fizika.ru/ni-klein.html
http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm1.htm
http://www.websib.ru/noos/math/listmebiusa/
http://www.vlink.ru/~v-design/mebius.htm. http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса
http://oriart.ru/publ/3-1-0-11
http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor
http://www.sola.narod.ru/top.htm
http://www.mebius.spb.ru/content/view